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LaTeX学习3

星期四, 02月 9th, 2006

这次是完成假期作业,作为完整的论文,用到了一些排版格式的内容:交叉引用\label\ref,浮动体\begin{figure}..end{figure},跨页面表格longtable,还有footnote, \cite, \abstractname{}, \refname等,尚未完全解决的问题:title中的\thank{}以及在其中作自定义footnote总失效,\indent在段首的有效性,fancyhdr.sty对中文的支持,subfigure.sty的使用。还有\\的放置造成不少错误,看来不是那么随意的。以下是源代码:


 


\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\linespread{1.6}
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\begin{CJK*}{GBK}{kai}
\title{\textbf{武汉市固定资产投资与经济增长之间影响关系的实证分析}}
\author{王浩智\footnote{武汉大学,世界经济专业,Email:Ratbuss@gmail.com}~~~学号:200521050042}
\date{2006-2-4}
\frenchspacing
\end{CJK*}
\begin{document}
   \begin{CJK*}{GBK}{kai}
   \maketitle
   \end{CJK*}
   \begin{CJK*}{GBK}{kai}
   \renewcommand\abstractname{摘~~要}
   \begin{abstract}
   本文采用Granger影响关系检验和Koyck模型方法,利用武汉市1989-2003年的年度数据,
   对固定资产投资和经济增长的关系进行了实证分析。
   实证结果表明:武汉市的固定资产投资与经济增长之间不仅存在双向Granger因果关系,
   同时也存在显著的即时双向影响;固定资产投资增长1\%,经济平均增长0.20\%。\\
   \textbf{关键字}:经济增长~~Granger因果检验~~分布滞后模型
   \end{abstract}
   \end{CJK*}
 \begin{CJK*}{GBK}{song}
   \section{引言}
  经济理论认为,投资与经济增长相互影响,相互作用,互为因果。
  一方面,大多数经济理论都把投资作为推动经济增长的重要因素。
  认为投资在短期内可增加需求,拉动经济增长;同时投资在长期还可以形成一定的生产能力、
  增加社会产品的生产能力,推动经济增长。\\
  \indent另一方面,持续的经济增长不仅会增加储蓄,为投资扩大提供物质基础,还可以激发投资者的积极性。
  对于固定资产投资和经济增长之间是否具有显著的双向影响,
  目前在理论分析和实证检验上尚无一致的结论 \cite[Podrecca and Carmeci,2001]{podrecca}。
  目前国内学术界主要利用协整理论和误差修正模型的理论和方法来研究固定资产投资与经济增长关系,
  测算固定资产对经济增长的长、短期影响。经济管理部门的研究人员采用理论分析的方法,
  对投资与经济增长之间的关系进行研究,认为投资与经济增长是互为因果的关系;
  采用统计描述方法,研究固定资产投资对经济增长影响的数量关系,认为投资是经济增长的第一推动力。
  本文以武汉市为例,采用现代计量经济学的理论和方法,
  对固定资产投资与经济增长之间的关系进行实证研究,
  并就固定资产投资对经济增长的影响进行定量分析。
  \section{经济增长与固定资产投资之间因果关系的检验}
     \subsection{样本数据及其说明}
本文分析所使用的样本取自1989-2003年的年度数据,数据来源于《武汉统计年鉴》(2004)。
用全社会固定资产投资总额反映投资情况,通过宏观经济总量指标生产总值(GDP)反映经济增长。
由于数据的自然对数变换不改变变量原来的关系,并能使其趋势线性化,
消除时间序列中可能存在的异方差现象,我们对变量取对数进行研究。\\
\indent设变量$y_t$表示年度实际GDP,$ly_t$表示对$y_t$取对数;设变量$x_t$表示年度实际全社会固定资产投资总额,
$lx_t$表示对$x_t$取对数。原始数据见表\ref{data}。\\


 \begin{longtable}{r|r|r|r|r}
  \multicolumn{5}{c}{\rule[-3mm]{0mm}{8mm}表\ref{data} 1989-2003年武汉市生产总值与投资情况}\label{data}\\
  \hline
  年份& 生产总值(亿元):$Y$ & $LY$ & 社会资产投资总额(万元):$X$ & $LX$ \\
  \hline
  1989 & 168.7500 & 5.128418 & 320134.0 & 12.67649 \\
  1990 & 176.8300 & 5.175189 & 389728.0 & 12.87320 \\
  1991 & 207.9500 & 5.337298 & 437967.0 & 12.98990 \\
  1992 & 255.4200 & 5.542909 & 683566.0 & 13.43508 \\
  1993 & 357.2300 & 5.878380 & 1189811. & 13.98931 \\
  1994 & 485.7600 & 6.185715 & 2060165. & 14.53830 \\
  1995 & 606.9100 & 6.408381 & 3222274. & 14.98560 \\
  1996 & 782.1300 & 6.662021 & 3870259. & 15.16883 \\
  1997 & 912.3300 & 6.816002 & 4081797. & 15.22205 \\
  1998 & 1001.890 & 6.909643 & 4204250. & 15.25161 \\
  1999 & 1085.680 & 6.989962 & 4312456. & 15.27702 \\
  2000 & 1206.840 & 7.095761 & 4619265. & 15.34575 \\
  2001 & 1347.800 & 7.206229 & 5084427. & 15.44169 \\
  2002 & 1492.740 & 7.308369 & 5704258. & 15.55672 \\
  2003 & 1662.180 & 7.415885 & 6450642. & 15.67969 \\
  \hline
  \multicolumn{5}{r}{资料来源:《武汉统计年鉴》(2004),武汉统计信息网}\\
 \end{longtable}


  \subsection{检验方法}
  \indent我们采用VAR模型中的Granger影响关系检验来判断固定资产投资和经济增长之间的关系。
  判断两个变量之间的Granger影响关系,需要先估计二元VAR模型,
  然后在简化式方程中检验滞后解释变量的显著性。经济增长和固定资产投资的双变量模型为:\\
\begin{align}\label{eq:granger}
  ly_t=\alpha_{10}+\sum_{i=1}^p\alpha_{1i}ly_{t-i}+\sum^p_{i=1}\beta_{1i}lx_{t-i}\\
  lx_t=\alpha_{20}+\sum_{i=1}^p\alpha_{2i}ly_{t-i}+\sum^p_{i=1}\beta_{2i}lx_{t-i}
\end{align}
\indent如果检验拒绝原假设:$H_0:\beta_{1i}=0,i=1,\cdots,p$,则认为固定资产投资是经济增长的Granger原因
\cite[Granger,1969]{granger},即前期投资具有解释和预则经济增长的能力,经济总量中具有显著的投资成分。
如果检验拒绝原假设:$H_0:\alpha_{2i}=0,i=1,\cdots,p$,则认为经济增长是固定资产投资的Granger原因,
即前期经济增长具有推断当前投资规模的能力,表明经济增长中具有相当的投资产品。


  \subsection{检验结果}
\indent利用最小二乘法估计,对变量分别进行上述检验,可得到表\ref{grap:1}a的检验结果。
   \begin{center}
   表\ref{grap:1}a 经济增长与固定资产投资之间的Granger影响关系检验\\
   \includegraphics[scale=0.7]{2.eps}\label{grap:1}
   \end{center}
\indent表\ref{grap:1}a显示变量之间存在双向显著的Granger影响关系,
说明目前的固定资产投资规模具有推断和预测经济增长的能力,
同时经济增长对固定资产投资的反馈作用也比较明显。投资与经济增长之间具有双向显著的因果关系,
投资可以促进经济的增长,经济增长又可以促进投资的增加。\\
\indent我们注意到Granger影响关系是一种滞后影响关系,为了说明产出和投资之间的关系,我们继续考察变量之间的同步影响。
方法为利用变量之间的简单线性回归模型,对变量系数进行t检验来完成。检验结果见表\ref{grap:2}b。\\
   \begin{figure}
   \centering
   表\ref{grap:2}b 经济增长与固定资产投资之间的即时性检验\\
   \includegraphics[scale=0.65]{5.eps}
   \includegraphics[scale=0.65]{6.eps}\label{grap:2}
   \end{figure}
\indent从表\ref{grap:2}b的检验结果知,固定资产投资和经济增长之间存在显著的即时双向影响。\\
\indent综合上述检验结果,我们发现武汉市在1989-2003年间的经济增长和固定资产投资存在互为因果的关系,
既存在滞后的Granger因果关系也存在即时的因果关系。这一结果说明,武汉市投资的增加导致了经济的增长,
经济的增长又导致了投资的增加。


  \section{投资增长与经济增长之间的数量关系}
   \subsection{模型}
\indent通过上面的研究发现,武汉市的经济增长不仅取决于当期的投资,而且还取决于以往的投资。
   我们认为,投资对经济增长的影响主要表现在三个方面:第一方面,投资的一部分直接转化为生产资料和生活资料,
   因此投资的扩大能增大有效需求,从而促进GDP的增加;第二方面,投资对当年建筑业增加值起着关键作用;
   第三个方面,投资所形成的固定资产以提高产出能力,从而促进GDP的增加。
   其中第一方面和第二方面主要表现为对经济增长的即期影响,第三方面表现为对经济增长的长期影响。
   也就是说,固定资产投资转化为固定资本,形成生产能力,对经济的影响是长期的。
   因此我们选取无限分布滞后模型来研究固定资产投资对经济的影响具有合理性。模型为:
   \begin{equation}\label{eq:2}
   ly_t=\alpha+\sum^\infty_{i=0}\beta_ilx_{t-i}+\mu_i
   \end{equation}
  \indent为了对上述模型的参数进行估计,考虑到固定资产投资对经济增长影响的递减性,我们用Koyck方法
  ($\beta_i=\beta_o\lambda^i$)将无限分布滞后模型转换为自回归模型,然后进行估计。
   通过变换得出Koyck模型\cite[Koyck,1954]{koyck}的一般形式为:
   \begin{equation}\label{eq:3}
    ly_t=a+blx_t+cly_{t-1}+\nu_t
   \end{equation}
   \indent其中,$a=(1-\lambda)\alpha,b=\beta_0,c=\lambda,\nu_t=\mu_t-\lambda\mu_{t-1}$。\\
   \indent由于方程\ref{eq:3}中解释变量与误差项存在序列相关性,
   直接用OLS方法对模型参数进行估计会导致参数的有偏和非一致性。我们采用工具变量法对模型参数进行估计。


   \subsection{模型的参数估计及意义}
   \indent对表\ref{data}的数据,利用工具变量法对方程\ref{eq:3}进行参数估计得到表\ref{grap:3}\\
   \begin{figure}
   \centering
   表\ref{grap:3} 用二阶段最小二乘估计\\
   \includegraphics[scale=0.65]{7.eps}\label{grap:3}
   \end{figure}
\indent其结果为:\\
  \begin{equation}\label{eq:4}
    ly_t=-0.96+0.20lx_t+0.72ly_{t-1}
  \end{equation}
\indent从方程\ref{eq:4}可以得到方程\ref{eq:2}的估计结果是:
  \begin{equation}\label{eq:5}
    ly_t=-3.4+\sum^\infty_{i=0}0.20(0.72)^ilx_{t-i}
  \end{equation}
从方程\ref{eq:5}可知,t年武汉市经济的增长除了取决于t年的固定资产投资外,
还取决于过去历年的固定资产投资,是历年固定资产投资综合作用的结果。
也就是说武汉市t年的固定资产投资,除了促进了t年的经济增长,而且对以后经济的增长产生影响,
但其影响系数按$(1-\lambda)$即0.28的衰减率在递减。另外,1989-2003年之间武汉市全社会固定资产投资增长
1\%,当期的经济平均增长0.20\%。固定资产投资对武汉市经济增长的即期拉动作用不太大,
这可能与武汉市的产业结构和投资的总规模有关。


  \section{结论及启示}
\indent本文利用武汉市1989-2003年的数据,采用现代计量经济学的方法对武汉市固定资产投
  资与经济增长的关系进行实证分析,得出:
  \begin{description}
    \item[第一]武汉市的固定资产投资与经济增长之间具有统计上显著的双向Granger影响关系,
    同时也存在显著的即时双向影响。投资与经济增长存在互为因果的关系,不仅投资对经济增长有影响,
    而且经济增长对投资具有反馈影响。这进一步的说明了实际产出中资本品占有相当的比例,
    此时投资对于处于扩张期的经济运行将提供更为直接的促动。
    \item[第二]武汉市固定资产投资的增长对经济增长的即期拉动作用明显。
    在1989-2003年间,武汉市固定投资增长1\%,经济增长0.20\%。
    \item[第三]如果武汉市的经济增长目标设定为10\%,则固定资产投资的增长应保持在14\%左右。
  \end{description}
虽然在过去的十多年间,武汉市固定资产投资对经济的增长重要作用得到了证实,
但我们却不能片面地强调通过固定资产投资的高速增长来带动经济的高速发展。
因为片面的追求投资的增长,会损害经济增长的质量,会导致一定程度的通货膨胀。\\
\indent需要说明的是本文在研究投资和经济增长的关系时,没有考虑投向问题,
因为大家知道:在经济紧缩时期,投资主要投向了公共基础部门;在经济复苏期间,
投资主要投向了产业链比较长的部门。相同的投资投向不同的部门对经济增长的影响是不相同的。
所以,固定资产投资的投向结构和经济增长的数量关系有待进一步的研究。


\renewcommand{\refname}{参~考~文~献}
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{podrecca}Podrecca, E. and G. Carmeci (2001), \textit{Fixed Investment and Economic Growth: New Results on Causality}, Applied Economics, 33, 177-182.
\bibitem{granger}Granger, C. W. J. (1969), \textit{Investigation causal relations by econometric models and cross-spectral methods}, Econometrica,37,pp. 424-438.
\bibitem{koyck}Koyck, L. M. (1954), \textit{Distributed Lags and Investment Analysis}, Amsterdam: North-Holland.
\bibitem{}刘金全, 于惠春, \textit{我国固定资产投资和经济增长之间影响关系的实证分析[J]}, 统计研究, 2002,(1)26-29.
\bibitem{}胡永平, 祝接金, \textit{经济增长与投资关系的实证研究[J]}, 商业研究, 2004,(5)13-15.
\end{thebibliography}


   \end{CJK*}
\end{document}

计量第二次作业LaTeX版本

星期二, 11月 22nd, 2005

 这次因为要说明,所以使用了中文包,尝试过程比较艰辛。发现MTeX比CTeX在这方面简便许多。这次主要学习了:插图、公式版式。源文件如下:





\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{CJK}
\addtolength{\textheight}{1.5cm}
\addtolength{\topmargin}{-2.2cm}
\addtolength{\textwidth}{3cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.5cm}
\author{By Haven Wang\dag No.200521050042 with \LaTeX}
\title{\textbf{Econometrics Exercise Sheet 3}}
\date{2005-11-21}
\frenchspacing
\begin{document}
 \begin{CJK*}{GBK}{song}
   \maketitle
   \section{Question}
     Definite some variables based on the available data: food; dpi means the income; $lf=\log{food}$; $ly=\log{dpi}$; data range from 1959 to 1973; $\alpha=0.01$ $t_{\alpha/{2}}(13)=3.012$ $F_\alpha(1,13)=9.07$ $t_{\alpha/{2}}(12)=3.055$ $F_\alpha(2,12)=6.93$; $\alpha=0.05$ $t_{\alpha/{2}}(13)=2.160$ $F_\alpha(1,13)=4.67$ $t_{\alpha/{2}}(12)=2.179$ $F_\alpha(2,12)=3.88$.
     \subsection{answer}
       \begin{equation}
       Food_t=\alpha+\beta Income_t+\mu_t
       \end{equation}
       在Eviews中导入数据food,dpi,lf,ly,用ols对\emph{equation 1}做回归如图,得到:\\
       \begin{center}
       \includegraphics[scale=0.85]{q1g2.eps}
       \end{center}
       分析得到 $FOOD = 0.09411133848*DPI + 55.17662352$ 的回归方程。
       \begin{align*}
       R^2=0.957241 \\
       F_{\text{statstic}}=291.0298  \\
       REE=85.65631  && \text{方程拟合较好}\\
       t_{\text{dpi}}=17.05959 && \text{大于临界值}\\
       t_c=15.22483 && \text{大于临界值}
       \end{align*}
     \subsection{answer}
       \begin{equation}
       LF_t=\gamma+\delta LY_t+\mu_t
       \end{equation}
       同上用ols对\emph{equation 2}做回归,得到:\\
       \begin{center}
       \includegraphics[scale=0.85]{q1g3.eps}
       \end{center}
       分析得到 $LF = 0.528105617*LY + 1.34028329$ 的回归方程。
       \begin{align*}
       R^2=0.971618 \\
       F_{\text{statstic}}=445.0317  \\
       REE=0.004282 && \text{方程拟合比\emph{equation 1}好,说明food并不以income完全弹性变动} \\
       t_{\text{ly}}=21.09577 && \text{大于临界值}\\
       t_c=8.293087 && \text{大于临界值}
       \end{align*}
     \subsection{answer}
     从1、2问的拟合方程的残差曲线图\\
     \begin{center}
     \includegraphics[scale=0.5]{q1g4.eps}
     \includegraphics[scale=0.5]{q1g5.eps}
     \end{center}
     可以看出,resid在1970年超出标准差的界限,而且在1973年左右突然大幅度下滑,所以扩大样本区间作图观察,得到:\\
     \begin{center}
     \includegraphics[scale=0.80]{q1g11.eps}
     \includegraphics[scale=0.80]{q1g12.eps}\\
     \end{center}
     看图可知在1973年存在异常外部因素的影响,比如自然灾害,造成粮食减产等。所以考虑引入虚拟变量$D$,
     $$D_t=\begin{cases}
     0, & \text{当$t\neq1973$}\\
     1, & \text{当$t=1973$}
     \end{cases}$$
     因为只是截距上的变动,故建立新的模型方程:
     \begin{align}
     Food_t=\alpha+\beta Income_t+\lambda D_t+\mu_t\\
     LF_t=\gamma+\delta LY_t+\lambda D_t+\mu_t
     \end{align}
     用Eviews重新对方程3,4进行回归,得到:
     \begin{center}
     \includegraphics[scale=0.85]{q1g13.eps}\\
     \includegraphics[scale=0.85]{q1g14.eps}
     \end{center}
     从各项数据可以看出,方程已经很好的拟合了,并且很好地通过了异方差和序列自相关检验。
     最后得到的方程分别为:
     \begin{align}
     & &Food_{(1)}&=\begin{cases}
     0.1043917357*dpi + 49.2130738, & \text{当$t\neq1973$}\\
     0.1043917357*dpi + 39.06983107, & \text{当$t=1973$}
     \end{cases}\\
     & &LF&=\begin{cases}
     0.56661794*LY + 1.096110743, & \text{当$t\neq1973$}\\
     0.56661794*LY +1.03080620979, & \text{当$t=1973$}
     \end{cases}\\
     &\Rightarrow&Food_{(2)}&=\begin{cases}
     e^{1.096110743}{dpi}^{0.56661794}, & \text{当$t\neq1973$}\\
     e^{1.03080620979}{dpi}^{0.56661794}, & \text{当$t=1973$}
     \end{cases}
     \end{align}
   \section{Question}
    Definite some variables based on the available data: $PC$; $Y$; $cexp$ means the $RC$; $LC=\log{RC}$; $LY=\log{Y}$; $\alpha=0.01$ $t_{\alpha/{2}}(34)\approx 2.73$ $F_\alpha(2,34)=5.29$; $\alpha=0.05$ $t_{\alpha/{2}}(34)\approx 2.03$ $F_\alpha(2,34)=3.28$.
    \subsection{answer}
    设价格水平用 $P$ 来表示,值为 $P_t=\dfrac{PC_t}{RC_t}$;消费者支出平减指数用 \emph{def} 来表示,值为 $def=100\times P$;因此根据题意 $INF_t=\log{def_t}-\log{def_{t-1}}$;设 $INF$ 的对比量为 $INF^*$,值为
    $INF^*_t=\dfrac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}$,在Eviews中计算这些数值,用 \emph{inff} 代表 $INF^*$,比较 \emph{inf} 同 \emph{inff} 并做散点图:\\
    \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.85]{q2g1.eps}\\
    \includegraphics[scale=0.85]{q2g2.eps}
    \end{center}
    可见明显 $INF\approx INF^*$\\
    \subsection{answer}
     \begin{equation}
     LC_t=\beta_1+\beta_2 LY_t+\beta_3 INF_t +\mu_t
     \end{equation}
     \subsubsection{}
     根据第一问的数据对方程进行回归分析,得到:
     \begin{center}
     \includegraphics[scale=0.85]{q2g3.eps}
     \end{center}
     可以得到数据:
     \begin{align*}
      \hat{\beta_2}=0.877252 && \text{收入弹性估计值}\\
      \underset{H_0:\beta_2=0}{t}=119.8891  && \text{对应于$\hat{\beta_2}$的值}
     \end{align*}
     \subsubsection{}
     根据方程:
     \begin{equation}
     t=\frac{\hat{\beta_i}-\beta_i}{s_{\hat{\beta_i}}}
     \end{equation}
     和上面得到的数据,很容易可以求出 $s_{\hat{\beta_i}}$,再根据$(1-\alpha)$的置信水平下$\beta_i$的置信区间是
     $$(\hat{\beta_i}-t_{\frac{\alpha}{2}}\times s_{\hat{\beta_i}},\hat{\beta_i}+t_{\frac{\alpha}{2}}\times s_{\hat{\beta_i}})$$
     可以计算得到在95%即$\alpha=0.05$下$\beta_2$的置信区间是:
     $$(0.862398,0.892106)$$
    \subsection{answer}
    根据题意设 $\beta’_2=1-\beta_2$,则 $H_0:\beta_2=1$ 转化为对 $H_0′:\beta_2′=0$ 的假设检验,方程化为:
    \begin{align}
    & &LC_t&=\beta_1+\beta_2 LY_t+\beta_3 INF_t +\mu_t\\
    &\Rightarrow &LC_t&=\beta_1+(1-\beta_2′) LY_t+\beta_3 INF_t +\mu_t\\
    &\Rightarrow &LC_t-LY_t&=\beta_1-\beta_2′ LY_t+\beta_3 INF_t +\mu_t
    \end{align}
    根据\emph{equation 12}在Eviews进行ols回归,命令是:$ls$\textvisiblespace{}
    $lc-ly$\textvisiblespace{} $c$\textvisiblespace{} $-ly$\textvisiblespace{} $inf$,得到:\\
    \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.85]{q2g3.eps}
    \end{center}
    可以看到
    \begin{align*}
    \biggl|\underset{H_0′:\beta_2=0}{t}\biggr|=16.77522&>t_{0.005}(34)\approx2.73\\
                         &>t_{0.025}(34)\approx2.03
    \end{align*}
    因此在99%或者95%的显著性水平下,都拒绝 $H_0′:\beta_2′=0$ 即 $H_0:\beta_2=1$,接受 $H_1:\beta_2<1$。\\
    $\beta_2=1$的意义在于,居民收入对消费具有完全弹性,即满足凯恩斯(Keynesian)的绝对收入假设,该假设下的消费函数为:
    \begin{equation}
    C_t=\alpha+\beta Y_t
    \end{equation}
    题目中当$\beta_2=1$时,方程可以化为:
    \begin{align*}
    & &LC_t&=\beta_1+LY_t+\beta_3(\log{PC_t}-\log{PC_{t-1}})\\
    &\Rightarrow &RC\cdot PC_{t-1}^{\beta_3}&=e^{\beta_1}Y\cdot PC_t^{\beta_3}\\
    &\Rightarrow &RC&\approx e^{\beta_1}Y && \text{剔除价格水平的影响}
    \end{align*}
    可以看出,是基本满足绝对收入学说的。
 \end{CJK*}
\end{document}

计量第一次作业LaTeX版本

星期二, 11月 22nd, 2005

这是第一次尝试用Latex编写完整的文章,作业比较简单,所以未使用中文支持,主要学习了:文章版式、表格绘制、公式排版。以下为源文件:





\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
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\author{By Haven Wang No.200521050042 with \LaTeX}
\title{\textbf{Econometrics Exercise Sheet 1}}
\date{}
\frenchspacing
\begin{document}
   \maketitle
   \section{Question}
     Let $X$ and $Y$ be random variables with
     \begin{align*}
        E(X)=4, E(Y)=3, Var(X)=2\\
        Var(Y)=1, Cov(X,Y)=0.5
     \end{align*}
     Evaluate:\\
     \begin{enumerate}
        \item $E(X+Y)=E(X)+E(Y)=4+3=7$
        \item $Var(X+Y)=Var(X)+2Cov(X,Y)+Var(Y)=2+2\times0.5+1=4$
        \item $E(3X)=3E(X)=3\times4=12$
        \item $Var(3X)=3^2Var(X)=9\times2=18$
     \end{enumerate}


   \section{Question}
     $A$ is a discrete random variable taking four values probabilities given by the table.\\
     \begin{center}
       \begin{tabular}{c|cccc}
       $A$ & 1&2&3&4\\
       \hline
       $P(A)$ & 0.3&0.1&0.4&0.2
       \end{tabular}
     \end{center}
     Evaluate:\\
     \begin{enumerate}
        \item $E(A)=\displaystyle\sum^n_{i=1}{A_i}P(A_i)=1\times0.3+2\times0.1+3\times0.4+4\times0.2=2.5$
        \item $E(A^2)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{A_i^2}P(A_i)=1^2\times0.3+2^2\times0.1
                                                             +3^2\times0.4+4^2\times0.2=7.5$
        \item $Var(A)=E(A^2)-\bigl[E(A)\bigr]^2=7.5-2.5^2=1.25$
     \end{enumerate}


   \section{Question}
     Give 3 observations on variable $B$ given by the table\\
      \begin{center}
        \begin{tabular}{c|ccc}
           &1&2&3\\
        \hline
        $B_i$&10&50&30
        \end{tabular}
      \end{center}
     Calculate:\\
     \begin{enumerate}
        \item $\displaystyle\sum_i{B_i}=B_1+\dots+B_n=10+50+30=90\hspace{\stretch{1}}(n=3)$
        \item $\displaystyle\sum_i{B_i^2}=B_1^2+\dots+B_n^2=10^2+50^2+30^2
                                         =3500\hspace{\stretch{1}}(n=3)$
        \item \begin{multline*}
        \displaystyle\sum_{j\not=i}\sum_i{B_i}{B_j}={B_1}{B_2}+\dots+{B_1}{B_n}+{B_2}{B_1}
        +{B_2}{B_3}+\dots+{B_2}{B_n}+\dots+{B_{n-1}}{B_n}\\
        \shoveleft=10\times50+10\times30+50\times10+50\times30+30\times10+30\times50=4600\hspace{\stretch{1}}(n=3)
        \end{multline*}
     \end{enumerate}


\end{document}